\subsection{反正切函数与反余切函数}\label{subsec:1-3}

正切函数 $y = \tan x \; \left( x \in \left( -\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2} \right)\right)$
的反函数叫\textbf{反正切函数}，记作 $y = \arctan x$，它的定义域是 $(-\infty, +\infty)$，
值域是 $\left( -\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2} \right)$。

余切函数 $y = \cot x \; (x \in (0, \pi)$
的反函数叫\textbf{反余切函数}，记作 $y = \arccot x$，它的定义域是 $(-\infty, +\infty)$，
值域是 $(0, \pi)$。

由反正切函数与反余切函数的定义，我们得到：
\textbf{$$\tan(\arctan x) = x \text{，}$$
其中 $x \in (-\infty, +\infty), \; \arctan x \in \left( -\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2} \right)$；
$$\cot(\arccot x) = x \text{，}$$
其中 $x \in (-\infty, +\infty), \; \arccot x \in (0, \pi)$。}

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \begin{minipage}{8cm}
    \centering
    \input{../pic/1-6}
    \caption{}\label{fig:1-6}
    \end{minipage}
    \qquad
    \begin{minipage}{8cm}
    \centering
    \input{../pic/1-7}
    \caption{}\label{fig:1-7}
    \end{minipage}
\end{figure}

图\ref{fig:1-6}与图\ref{fig:1-7}分别是反正切函数与反余切函数的图象。

从图象上可以看出：

\textbf{（1）反正切函数 $y = \arctan x$ 在区间 $(-\infty, +\infty)$ 上是增函数；
反余切函数 $y = \arccot x$ 在区间 $(-\infty, +\infty)$上是减函数。}

\textbf{（2）反正切函数 $y = \arctan x$ 是奇函数，即}
$$\arctan(-x) = -\arctan x, \; x \in (-\infty, +\infty) \text{。}$$

\textbf{（3）反余切函数有下述关系：}
$$\arccot(-x) = \pi - \arccot x, \; x \in (-\infty, +\infty) \text{。}$$

这个性质与反余弦函数是类似的。

反正弦函数、反余弦函数、反正切函数、反余切函数，都叫做\textbf{反三角函数}。
\footnote{反三角函数还有反正割函数和反余割函数两种。这两种反三角函数在本书中不研究。}

\liti 求下列各式的值：
\begin{xiaoxiaotis}

    %\renewcommand\arraystretch{1.5}
    \begin{tabular}[t]{*{2}{@{}p{16em}}}
        \xiaoxiaoti{$\arctan 0$；} & \xiaoxiaoti{$\arctan(-2)$；} \\
        \xiaoxiaoti{$\arccot 1$；} & \xiaoxiaoti{$\arccot(-\sqrt{3})$。}
    \end{tabular}

\end{xiaoxiaotis}

\jie （1）$\arctan 0 = 0$；

（2）$\arctan(-2) = -\arctan 2 = -63^\circ 26'$；

（3）$\arccot 1 = \dfrac{\pi}{4}$；

（4）$\arccot(-\sqrt{3}) = \pi - \arccot\sqrt{3} = \pi - \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{5\pi}{6}$。

\liti 求证 $\arctan x + \arccot x = \dfrac{\pi}{2}$。

\zhengming 根据诱导公式与反余切函数的定义，得
$$\tan\left( \dfrac{\pi}{2} - \arccot x \right) = \cot(\arccot x) = x \text{，}$$

因此，$\dfrac{\pi}{2} - \arccot x$ 是正切等于 $x$ 的一个值。

又因为 $0 < \arccot x < \pi$，所以 $0 > -\arccot x > -\pi$，由此可得
$\dfrac{\pi}{2} > \dfrac{\pi}{2} - \arccot x > -\dfrac{\pi}{2}$，即
$\dfrac{\pi}{2} - \arccot x \in \left( -\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2} \right)$。

因此，$\dfrac{\pi}{2} - \arccot x$ 是属于 $\left( -\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2} \right)$
且它的正切等于 $x$ 的一个值。于是
$$\arctan x = \dfrac{\pi}{2} - \arccot x \text{，}$$

$\therefore \quad \arctan x + \arccot x = \dfrac{\pi}{2}$。

\lianxi
\begin{xiaotis}

\xiaoti{用反正切或反余切的形式把下列各式中的 $x$ 表示出来：}
\begin{xiaoxiaotis}

    \renewcommand\arraystretch{1.5}
    \begin{tabular}[t]{*{2}{@{}p{18em}}}
        \xiaoxiaoti{$\tan x = 0.6 \; \left( -\dfrac{\pi}{2} < x < \dfrac{\pi}{2} \right)$；} & \xiaoxiaoti{$\tan x - \sqrt{5} = 0 \; \left( -\dfrac{\pi}{2} < x < \dfrac{\pi}{2} \right)$；} \\
        \xiaoxiaoti{$\cot x = 3 \; (0 < x < \pi)$；} & \xiaoxiaoti{$3\cot x + 1 = 0 \; (0 < x < \pi)$。}
    \end{tabular}

\end{xiaoxiaotis}

\xiaoti{写出下列函数的定义域、值域：}
\begin{xiaoxiaotis}

    \twoInLineXxt[16em]{$y = \arctan\dfrac{x}{2}$；}{$y = 3\arccot(1 - x)$。}

\end{xiaoxiaotis}

\xiaoti{求下列各式的值：}
\begin{xiaoxiaotis}

    \renewcommand\arraystretch{1.5}
    \begin{tabular}[t]{*{2}{@{}p{16em}}}
        \xiaoxiaoti{$\arctan\dfrac{\sqrt{3}}{3}$；} & \xiaoxiaoti{$\arctan(-2.689)$；} \\
        \xiaoxiaoti{$\arccot 0$；} & \xiaoxiaoti{$\arccot(-1)$。}
    \end{tabular}

\end{xiaoxiaotis}

\xiaoti{求下列各式的值：}
\begin{xiaoxiaotis}

    \renewcommand\arraystretch{1.5}
    \begin{tabular}[t]{*{2}{@{}p{16em}}}
        \xiaoxiaoti{$\tan(\arctan 2.84)$；} & \xiaoxiaoti{$\arctan\left( \tan\dfrac{4\pi}{5} \right)$；} \\
        \xiaoxiaoti{$\cot\left[ \arccot\left( -\dfrac{1}{2} \right)\right]$；} & \xiaoxiaoti{$\arccot\left[ \cot\left( -\dfrac{1}{2} \right)\right]$。}
    \end{tabular}

\end{xiaoxiaotis}

\xiaoti{求下列各式的值：}
\begin{xiaoxiaotis}

    \renewcommand\arraystretch{1.5}
    \begin{tabular}[t]{*{2}{@{}p{16em}}}
        \xiaoxiaoti{$\cot(\arctan\sqrt{3})$；} & \xiaoxiaoti{$\sin(\arccot 2)$；} \\
        \xiaoxiaoti{$\tan\left( \arctan\dfrac{1}{4} + \arctan\dfrac{2}{5} \right)$；} & \xiaoxiaoti{$\cos(2\arctan 5)$。}
    \end{tabular}

\end{xiaoxiaotis}

\end{xiaotis}


